\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} \subsection*{Ma116 \hspace{2.0in} Project 3 \hfill 3/31/00} \subsection*{{{{{{\protect\small Name: \protect\underline{\hspace{2.5in}} \hfill ID: \protect\underline{\hspace{2.0in}}}}}}}} \subsection*{{{{{{\protect\small E-Mail: \protect\underline{\hspace{2.5in}} \hfill T.A./Recitation: \protect\underline{\hspace{2.0in}}}}}}}} \hfill {\small \textit{I pledge my honor that I have abided by the Stevens Honor System.}\hfill\underline{\hspace{2.3in}}}\\[10pt] \hfill \textbf{Introduction}\\[2pt] In this project we investigate the geometry of curvature for curves in two-dimensional space. This material is intended to complement the presentation of curvature in section 10.3 of the Stewart text.\\[2pt] The curvature at a given point on a planar curve is first defined via a certain limit process. This involves computing the radius of a circle containing the point of interest and two nearby points on the curve, and then estimating the limiting value of this radius as the three points coalesce into a single point.\\[2pt] In the final section we derive the radius of a circle as a function of its first and second derivatives and use this to define the osculating circle at a given point on the curve. The curvature coming from this definition is compared with the curvature from the limit definition for two specific curves.\\[2pt] To assist in calculating the radii of the circles we first introduce a method for using certain determinants to describe the equation of a circle, when the circle is defined by passing through three distinct points. These formulas will be set up as Maple-defined functions which can be easily evaluated for many different choices of input arguments. \hfill \textbf{1.\hspace{2pt} Determinants and lines}\\[2pt] Let $(x_0,y_0)$ and $(x_1,y_1)$ be two distinct points in the plane and consider them fixed. Taking an arbitrary point $(x,y)$ we form the following $3\times3$ matrix, \[ M = \left[ \begin{array}{ccc} x & y & 1 \\ x_0 & y_0 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \end{array} \right] \] Computing the determinant $\det M$ by expanding along the first row yields an expression which is linear in the variables $x$ and $y$, \[ \det M = Ax + By + C\,, \] where $A$, $B$, and $C$ are constants. \textbf{a) }\hspace{1pt} If $(x,y) = (x_0,y_0)$ or $(x,y) = (x_1,y_1)$, then the determinant is identically zero. Why?\\[2pt] \hfill \begin{description} \item \textbf{\textsl{Answer :}}\hspace{5pt} \end{description} \hfill \hfill We have two distinct points $(x_0,y_0)$ and $(x_1,y_1)$ satisfying the equation $\det M = 0$. Therefore the straight line through the points $% (x_0,y_0)$ and $(x_1,y_1)$ can be expressed as the equation \begin{equation} \det\left[ \begin{array}{ccc} x & y & 1 \\ x_0 & y_0 & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \end{array} \right] \,=\, 0 \tag{(1)} \end{equation} \hfill \hfill \textbf{2.\hspace{2pt} Determinants and Circles}\\[2pt] The equation of a circle in the $x$-$y$ plane can be expressed in the form, \begin{equation} A(x^2 + y^2) + Bx + Cy + D = 0. \tag{(2)} \end{equation} Reasoning as we did for the straight line, a circle through three distinct points $(x_0,y_0)$, $(x_1,y_1)$, and $(x_2,y_2)$, can be expressed as the equation, \begin{equation} \det\left[ \begin{array}{cccc} (x^2 + y^2) & x & y & 1 \smallskip \\ (x_0^2 + y_0^2) & x_0 & y_1 & 1 \smallskip \\ (x_1^2 + y_1^2) & x_1 & y_1 & 1 \smallskip \\ (x_2^2 + y_2^2) & x_2 & y_2 & 1 \smallskip \end{array} \right] \, = \, 0 \tag{(3)} \end{equation} since setting $(x,y)$ equal to any of the three points $(x_0,y_0)$, $% (x_1,y_1)$, or $(x_2,y_2)$ makes the determinant zero. Expanding equation (3) along the first row yields the quadratic equation in (2) with the coefficients given by, \begin{equation} A = \det\left[ \begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \smallskip \\ x_1 & y_1 & 1 \smallskip \\ x_2 & y_2 & 1 \smallskip \end{array} \right]\,, \hspace{10pt} B = -\det\left[ \begin{array}{ccc} (x_0^2 + y_0^2) & y_0 & 1 \smallskip \\ (x_1^2 + y_1^2) & y_1 & 1 \smallskip \\ (x_2^2 + y_2^2) & y_2 & 1 \smallskip \end{array} \right]\,,\hspace{10pt}C= \mathit{etc.} \tag{(4)} \end{equation} \textbf{a) }\hspace{1pt} In the space below, complete the expressions for the coefficients $C$ and $D$\/.\\[4pt] \underline{\textsl{SNB\ Instructions}}\/ : In creating the determinant, be sure to enclose the $3\times 3$ matrix within a pair of brackets by first selecting \FRAME{itbpF}{0.2447in}{0.2378in}{0.0502in}{}{}{brackets.wmf} {% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.2447in;height 0.2378in;depth 0.0502in;original-width 24.0625pt;original-height 23.3125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'Brackets.wmf';file-properties "XNPEU";}} from the toolbar. Placing the cursor inside the empty brackets, now select \FRAME{itbpF}{0.237in}{0.2266in% }{0.0502in}{}{}{matrix.wmf} {\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 0.237in;height 0.2266in;depth 0.0502in;original-width 17.8125pt;original-height 16.9375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'Matrix.wmf';file-properties "XNPEU";}} from the toolbar. The \textbf{Matrix} dialog box will prompt you for the number of rows and columns.\\[4pt] \hfill \begin{description} \item \textbf{\textsl{Answer :}}\hspace{5pt} \[ C = \] \[ D = \] \end{description} \hfill Completing the square in equation (2) leads to an alternative form of the equation of the circle, \begin{equation} \left(x - x_c\right)^2 + \left(y - y_c\right)^2 = r^2\,. \tag{(5)} \end{equation} where the center of the circle $(x_c,y_c)$ is given by $x_c=B/2A$ and $y_c = C/2A$, and the radius $r$ is given by, \begin{equation} r^2 = \left(\dfrac{B}{2A}\right)^2 + \left(\dfrac{C}{2A}\right)^2 - \dfrac{D% }{A} \tag{(6)} \end{equation} \hfill \textbf{3.\hspace{2pt} Defining curvature as a limit.}\\[2pt] Consider the curve $y=f\,(x)$ and a point $x_0$ in the domain of $f$\/. For $% h \neq 0$ we can use the formulas in part 2 to determine the unique circle through the three points $(x_0,f\,(x_0))$, $(x_0+h, f\,(x_0+h))$, and $% (x_0+2h, f\,(x_0+2h))$. In the formulas above, we are setting $x_1=x_0+h$, $% y_1=f\,(x_0+h)$, $x_2=x_0+2h$, $y_2=f\,(x_0+2h)$. Using $r(x_0,h)$ to denote the radius of this circle, we define the \emph{radius of curvature} of $f$ at the point $(x_0, f\,(x_0))$ as the limiting value of $r(x_0,h)$ as $h \rightarrow 0$, \[ r(x_0) = \lim_{h\rightarrow0} r(x_0,h)\,. \] The reciprocal value, $\kappa(x_0) = 1/r(x_0)$, is called the \emph{curvature% }.\\[4pt] These calculations will be considerably easier if we first define appropriate functions which can be easily evaluated for different values of $% x_0$ and $h$. To this end, we begin by copying the coefficient formulas from part 2 and editing these expressions to convert each coefficient into a function of $x_0$ and $h$. It remains for you to finish setting up the definitions for the coefficients $C(x_0,h)$ and $D(x_0,h)$, and then use \textbf{Maple + Define + New Definition} to create the Maple-defined functions in the order $f(x)$, $A(x_0,h)$, $B(x_0,h)$, $C(x_0,h)$, $D(x_0,h)$% , and $r(x_0,h)$. Note that $f\,(x)$ must be the first function entered as a new definition, and $r(x_0,h)$ must be the last definition created.\\[4pt] \underline{\textsl{SNB\ Instructions :}} The expressions for $f\,(x)$, $% A(x_0,h)$, and so on... are made into function definitions by placing the cursor inside the expression and selecting \textbf{Maple + Define + New Definition}. Note that the order in which the functions are defined can be crucial. Since $A$, $B$, $C$, and $D$ all depend on the definition of $f\,$ we must first set a definition for $f\,(x)$. Then complete the definitions for $A$, $B$, $C$, and $D$ before defining $r(x_0,h)$. If the definitions should be deleted (\textbf{Maple + Define + Clear Definitions}) they must be recreated in the order $f$, $A$, $B$, $C$, $D$, $r$. \hfill \[ f\,(x) = x^2 \] \[ A(x_0,h) = \det\left[ \begin{array}{ccc} x_0 & f(x_0) & 1 \smallskip \\ x_0+h & f(x_0+h) & 1 \smallskip \\ x_0+2h & f(x_0+2h) & 1 \smallskip \end{array} \right] \] \[ B(x_0,h) = -\det\left[ \begin{array}{ccc} (x_0^2 + (f(x_0))^2) & f(x_0) & 1 \smallskip \\ ((x_0+h)^2 + (f(x_0+h))^2) & f(x_0+h) & 1 \smallskip \\ ((x_0+2h)^2 + (f(x_0+2h))^2) & f(x_0+2h) & 1 \smallskip \end{array} \right] \] \hfill \textbf{a) }\hspace{1pt} Convert the coefficients $C$ and $D$ into functions $C(x_0,h)$ and $D(x_0,h)$. Then create the \textbf{New Definitions} for each of the functions $f\,(x)$, $A(x_0,h)$, $B(x_0,h)$, $C(x_0,h)$, $D(x_0,h)$, and $r(x_0,h)$. \hfill \begin{description} \item \textbf{\textsl{Answer :}}\hspace{5pt} \[ C(x_{0},h) = \] \[ D(x_{0},h) = \] \[ r(x_{0},h) = \dfrac{\left( B^2(x_{0},h) + C^2(x_{0},h) - 4A(x_0,h)D(x_{0},h) \right)^{1/2}}{2A(x_{0},h)} \] \end{description} \hfill \textbf{b) }\hspace{1pt} Using the function $f(x)=x^2$, evaluate the radius $% r(x_0,h)$ at $x_0 = 1$ for several values of $h$. Try to estimate the radius of curvature at $x_0=1$ by taking smaller and smaller values of $h$.\\[4pt] \underline{\textsl{SNB\ Instructions :}} To evaluate $r(x_0,h)$ you may need to apply \textbf{Maple + Evaluate Numerically} \underline{twice}. In some cases, the first evaluation leaves the answer in the form of a square root.\\% [2pt] To check that your function definitions are ``correct'', verify that you get $r(1,1) = \sqrt{1105} = 33.2415$. \hfill \begin{description} \item \textbf{\textsl{Answer :}}\hspace{5pt} \end{description} \hfill \hfill \textbf{c) }\hspace{1pt} Create a new Maple definition, $f(x)=x^{4/3}$, and try to estimate its radius of curvature at $x_0=0$ by evaluating $r(0,h)$ for small values of $h$. What appears to be happening as $h \rightarrow 0$?\\% [4pt] \underline{\textsl{SNB\ Instructions :}} At this point, you only need to redefine $f\,(x)$ using \textbf{Maple + Define + New Definition}. The remaining definitions should still work. \hfill \begin{description} \item \textbf{\textsl{Answer :}} \end{description} \hfill \hfill \textbf{4.\hspace{2pt} Curvature and the osculating circle.}\\[2pt] Returning to the equation of a circle as expressed in equation (5), we differentiate twice with respect to $x$ and arrive at the following system of equations, \[ \begin{array}{lcl} \left(x - x_c\right)^2 + \left(y - y_c\right)^2 & = & r^2 \smallskip \\ 2\left(x - x_c\right) + 2\left(y - y_c\right)y^\prime & = & 0 \smallskip \\ 2 + 2\left(y - y_c\right)y^{\prime\prime} + 2 (y^\prime)^2 & = & 0 \smallskip \end{array} \] Using the second and third equations to eliminate $x$ and $y$ from the first equation leads to the following expression relating the radius of the circle to its derivatives $y^{\prime}(x)$ and $y^{\prime\prime}(x)$, \begin{equation} r = \dfrac{\left(1 + (y^{\prime})^2 \right)^{3/2}}{\left|y^{\prime\prime}% \right|} \tag{(7)} \end{equation} Given a curve in the plane expressed as $y=f\,(x)$ and having two derivatives, define the \textbf{osculating circle} at a point $% (x_{0},f\,(x_{0}))$ as the circle which passes through the point and whose first and second derivatives agree with those of the curve $y=f\,(x)$ at $% x_{0}$. Applying the expression in (7) determines the radius of the osculating circle based on the values of $f\,^{\prime}(x_{0})$ and $% f\,^{\prime \prime }(x_{0})$. An illustration of the osculating circle is shown in Figure 1 for the curve $y=x^{2}$ at the point $(1/2,1/4)$. (The name osculating comes from the Latin osculatus, or ``kissing''). \hfill \FRAME{dtbpFU}{3.6642in}{2.0479in}{0pt}{\Qcb{\textbf{{{{\protect\small % Figure 1.\hspace{2pt}The osculating circle for $y=x^{2}$ at $x=0.5$.}}}}}}{}{% oscul_circle.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "PICT";valid_file "F";width 3.6642in;height 2.0479in;depth 0pt;original-width 216.8125pt;original-height 144.5625pt;cropleft "-0.10";croptop "1";cropright "1.10";cropbottom "0";filename 'oscul_circle.wmf';file-properties "XNPEU";}} \hfill \textbf{a) }\hspace{1pt} For the curve $y=x^2$ determine the radius of the osculating circle at $x=1$. How does the radius of the osculating circle compare with your estimate for the radius of curvature from part 3b.? \hfill \begin{description} \item \textbf{\textsl{Answer :}}\hspace{5pt} \end{description} \hfill \hfill \textbf{b) }\hspace{1pt} For the curve $y=x^{4/3}$, is it possible to determine the osculating circle at $x_0 = 0$ from equation (7)? Compare this result with your observations from part 3c. \hfill \begin{description} \item \textbf{\textsl{Answer :}}\hspace{5pt} \end{description} \hfill \hfill \underline{\textit{Remark}}\/: Note that the formula for $1/\kappa$ on the right-hand side of equation (7) was derived in section 10.3 of Stewart starting from the definition of curvature as $|dT\,/\,ds|$, the derivative of the unit tangent vector with respect to arc length. \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/proj3_v2.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/Brackets.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@|t@tL@{I@@@@@`a^E@@I@@@C`EA@@P@@DAA@@@@@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LHp G@@B@QP@@@DtB`@@s@|A@`@@@@@@@_@@H@@@@@@@J@@@@`@@@@|A@@@P@@`@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@B@@@B@@@@H`@@H@@@@`@@H@@BH@@@Lp@C@p\CL@pkli@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 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