\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} \subsection*{Ma116 \hspace{2.0in} Project 1 \hfill 2/11/00} \subsection*{{{\protect\small Name: \protect\underline{\hspace{2.5in}} \hfill ID: \protect\underline{\hspace{2.0in}}}}} \subsection*{{{\protect\small E-Mail: \protect\underline{\hspace{2.5in}} \hfill T.A./Recitation: \protect\underline{\hspace{2.0in}}}}} \hfill {\small \textit{I pledge my honor that I have abided by the Stevens Honor System.}\hfill\underline{\hspace{2.3in}}} \hfill \textbf{Please enter your final answers within the underlined regions along the right-hand side of the page. Details leading to the final answers are to be included in the space below the question.} \hfill \subsubsection*{Introduction} The object of this project is to study tangent lines to curves as well as area between two curves. In each instance, having found a tangent line to a certain cubic curve, you will be asked to find the area between that tangent and the cubic. The first six questions perform the calculations using the simple cubic $y=x^3$. You will be asked to generate a plot within this SNB document similar to the plot shown in the figure below. The figure is provided as a reference to verify that you are generating the correct geometry. The main result in this project has to do with the ratio of the areas of the regions labeled $A_1$ and $A_2$ in the figure. \[ \FRAME{itbpF}{2.87in}{4.04in}{0in}{\Qcb{{{\protect\small \mathbf{Figure 1.% \hspace{5pt} Plot of $y=x^3$ with tangent lines.}}}}} {}{lens.gif}{\special% {language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; maintain-aspect-ratio TRUE; display "PICT"; valid_file "F"; width 2.87in; height 4.04in; depth 0in;original-width 2.87in; original-height 4.04in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; cropbottom "0"; filename 'lens.gif';file-properties "XNPEU";}} \] \pagebreak \subsubsection*{The cubic curve {\protect\large $\,y=x^3$}} \begin{description} \item[1.] In the space below, use Scientific Notebook to plot $y=x^{3}$. \end{description} \[ \FRAME{itbpF}{3.0113in}{5.0194in}{-0.0208in}{}{}{}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3.0113in;height 5.0194in;depth -0.0208in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$x^{3}$};linecolor "black";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function \TEXUX{$3x+2$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "point";function \TEXUX{$12x-16$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "point";xmin "-4.1";xmax "2.2";xviewmin "-4.100000";xviewmax "2.200000";yviewmin "-70.512380";yviewmax "12.271208";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 101;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FQ4RT405.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\ \begin{array}[b]{ll} y=x^{3} & \text{Black} \\ y=3x+2 & \text{Blue} \\ y=12x-16 & \text{Red} \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} \] \begin{description} \item[2.] As shown in Figure 1, use $L_{1}$ to denote the the line tangent to $y=x^{3}$ through the point $(-1,-1)$. After answering the following two questions, add the graph of this tangent line to your preceding plot. \end{description} \hfill \begin{description} \item[a)] What is the slope of the tangent line to $\ x^{3}$ at $x=-1$\/? \hfill \left.\underline{y^{\prime }(-1)=3}\right. \end{description} \[ y=x^{3}\Longrightarrow y^{\prime }=3x^{2}\Longrightarrow y^{\prime }(-1)=3 \] \hfill \begin{description} \item[b)] What is the equation of the tangent line at $x=-1$\/? \hfill\left.% \underline{L_{1}:y=3x+2}\right. \end{description} \[ y=y_{0}+m(x-x_{0})=-1+3(x+1)=3x+2 \] \hfill \newpage \begin{description} \item[3.] In addition to the intersection at $(-1,-1)$, the tangent line $% L_{1}$ in part \textbf{1} intersects the cubic $y=x^{3}$ at a second point denoted by the letter $P$\/? Set up an appropriate polynomial equation for determining this intersection point.\\[2pt] \underline{\textit{Note}}: \hspace{1pt} You can use SNB to solve the cubic equation that gives the point of intersection.\\[5pt] What are the coordinates of $P$\/? \hfill\left.\underline{P=(2,8)}\right. \end{description} \[ x^{3}=3x+2\longrightarrow x^{3}-3x-2=0 \] \[ x^{3}-3x-2=(x+1)^{2}(x-x_{P})=(x^{2}+2x+1)(x-x_{P})\Longrightarrow x_{P}=2 \] \hfill \begin{description} \item[4.] We use $L_{2}$ to denote the the line tangent to $y=x^{3}$ through the point $P$ (see Figure 1). After answering the following two questions, add the graph of this second tangent line to your plot in part \textbf{1}. \end{description} \hfill \begin{description} \item[a)] What is the slope of the tangent line at the point $P$? \hfill\left.\underline{y^{\prime }(2)=12}\right. \end{description} \[ y^{\prime }=3x^{2}\Longrightarrow y^{\prime }(2)=12 \] \begin{description} \item[b)] What is the equation of the tangent line through the point $P$? \hfill\left.\underline{L_{2}:y=12x-16}\right. \end{description} \[ y=8+12(x-2)=12x-16 \] \hfill \begin{description} \item[5.] This second tangent line $L_{2}$ intersects the cubic at a new point $Q$. Set up an appropriate polynomial equation for determining the intersection point $Q$.\\[5pt] What are the coordinates of $Q$? \hfill\left.\underline{Q=(-4,-64)}\right. \end{description} \[ x^{3}=12x-16\longrightarrow x^{3}-12x+16=0 \] \[ x^{3}-12x+16=(x-2)^{2}(x-x_{Q})=(x^{2}-4x+4)(x-x_{Q})\Longrightarrow x_{Q}=-4 \] \hfill \begin{description} \item[6.] You should now have a plot of $y=x^{3}$ on which is superimposed two tangent lines. Between the tangent line $L_{1}$ and the cubic $y=x^{3}$ there is a lens-shaped region, denoted $A_{1}$. Between the second tangent line $L_{2}$ and the cubic there is a second lens-shaped region, denoted $% A_{2}$. Refer to Figure 1 to verify that you have the correct geometry in your plot.\\[2pt] \underline{\textit{Note}}: \hspace{1pt} After setting up the definite integrals for computing areas, use SNB to perform the evaluation. \end{description} \hfill \begin{description} \item[a)] What is the exact area of region $A_{1}$\/? \hfill\left.% \underline{A_{1}=27/4}\right. \end{description} \[ A_{1}=\int_{-1}^{2}\left( (3x+2)-x^{3}\right) \,dx=\allowbreak \frac{27}{4} \] \begin{description} \item[b)] What is the exact area of region $A_{2}$\/? \hfill\left.% \underline{A_{2}=108}\right. \end{description} \[ A_{2}=\int_{-4}^{2}\left(x^{3} - (12x-16)\right)\,dx\,=\,108 \] \hfill \begin{description} \item[7.] What is the ratio of the larger area to the smaller? \hfill\left.% \underline{A_{2}\,/\,A_{1} = 108\,(4\,/\,27)=16}\right. \end{description} \newpage \subsubsection*{Another cubic curve} \begin{description} \item[8.] Select $y=x(x+4)(x-2)$ in place of $y=x^{3}$. Repeat steps 1 through 7 starting with the point determined by setting $x=-2$. \end{description} \[ \FRAME{itbpF}{3.0113in}{5.0194in}{-0.0208in}{}{}{}{\special{language "Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3.0113in;height 5.0194in;depth -0.0208in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$x(x+4)(x-2)$};linecolor "black";linestyle 1;linethickness 2;pointstyle "point";function \TEXUX{$-4x+8$};linecolor "blue";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "point";function \TEXUX{$12x-24$};linecolor "red";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "point";xmin "-6.1";xmax "2.2";xviewmin "-6.100000";xviewmax "2.200000";yviewmin "-106.484220";yviewmax "35.177684";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints 101;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file "T";tempfilename 'FQ4STJ07.wmf';tempfile-properties "XPR";}}\ \begin{array}[b]{ll} y=x(x+4)(x-2) & \text{Black} \\ y=-4x+8 & \text{Blue} \\ y=12x-24 & \text{Red} \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} \] \begin{description} \item[a)] The equation of the first tangent line $L_{1}$\/: \hfill\left.% \underline{L_{1}:y=-4x+8}\right. \end{description} \[ y=x(x+4)(x-2)=x^{3}+2x^{2}-8x\longrightarrow y^{\prime} = 3x^{2}+4x-8\longrightarrow y^{\prime }(-2)=-4 \] \[ L_{1}:y=y(-2)-4(x+2)=16-4(x+2)=-4x+8 \] \hfill \begin{description} \item[b)] The coordinates of the second point $P$\/: \hfill\left.\underline{% P=(2,0)}\right. \end{description} \[ x^{3}+2x^{2}-8x=-4x+8\longrightarrow x^{3}+2x^{2}-4x-8=0 \] \[ x^{3}+2x^{2}-4x-8=(x+2)^{2}(x-x_{P})=(x^{2}+4x+4)(x-x_{P}) \] \[ \Longrightarrow x_{P}=2\longrightarrow y(2)=0 \] \hfill \newpage \begin{description} \item[c)] The equation of the second tangent line $L_{2}$\/: \hfill\left.% \underline{L_{2}:y=12x-24}\right. \end{description} \[ y^{\prime }=3x^{2}+4x-8\longrightarrow y^{\prime }(0)=12 \] \[ L_{2}:y=y(2)+12(x-2)=0+12(x-2)=12x-24 \] \hfill \begin{description} \item[d)] The coordinates of the third point $Q$\/: \hfill\left.\underline{% Q=(-6,-96)}\right. \end{description} \[ x^{3}+2x^{2}-8x=12x-24\longrightarrow x^{3}+2x^{2}-20x+24=0 \] \[ x^{3}+2x^{2}-20x+24=(x-2)^{2}(x-x_{Q})=(x^{2}-4x+4)(x-x_{Q}) \] \[ \Longrightarrow x_{Q}=-6\longrightarrow y(-6)=-96 \] \hfill \begin{description} \item[e)] The first area $A_{1}$\/: \hfill\left.\underline{A_{1}=64\,/\,3}% \right. \end{description} \[ A_{1}=\int_{-2}^{2}\left((-4x+8) - (x^{3}+2x^{2}-8x)\right)\,dx \,=\,\frac{% 64}{3} \] \hfill \begin{description} \item[f)] The second area $A_{2}$\/: \hfill\left.\underline{A_{2}=1024\,/\,3% }\right. \end{description} \[ A_{2}=\int_{-6}^{2}\left((x^{3} + 2x^{2}-8x)-(12x-24)\right)\,dx \,=\,\frac{% 1024}{3} \] \hfill \begin{description} \item[g)] The ratio of the larger area to the smaller area: \hfill\left.% \underline{A_{2\,}\,/\,A_{1}=1024\,/\,64 = 16}\right. \end{description} \hfill \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/proj1_v3_sol.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lens.gif %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GedQx\SXUDPaADO@@@@@@HklrV^yesB@@@@@UDPaA@`@~sycin\{OLJgtj}bsM@ppu`abcd efghI\]CliopqrSnsvjluw{|}Zz~`mjEp`FOblHrR_Zm|It^Jc~{sTjXs~S{HkWyBN|FDC}tTlb UgQsnmJrgK{vlsyv[WSn\wj^Ryut^|ua_@bXPBfsZxQXbPbUYMzHeQ^yS^]hdObigGuw_]~I i~hv]gVjjv@thbyJM[nJimZykvFkls~iNprUjVx{n{zBpsI\ZHO|lEc[XJ_@tKs|eNccnSS\dB[ \v^s@vZYmt_o\x\jDyeO}yTQYwkGOm{in|vsVhDu~}|\_go~IpcEP@VoAbi}ihEmu\PDnmBE `@dOB}PHfHErJ~{pDgXmzeuphjthPxXG}xGaSHEImDG@NyImdAWIKye{LIL{XQfYMWGIEqJrYNe IM{Iu@uKEzPSWQMzHWXRUJLquE]Jd~IEBjTUjmjjUJQvzViZSAkYugXG{U|zYQhVSkTY[[]z[a [\E@Vgkgrk~bj]yJ^uKFY_hh_[LKk`MGHpIGqIbuI@B|b]KFjkIa\dy@ek|@qV]eLJcldqK_} |UcU\cjfm{dEPgQ]|ShgJ@w|kcmlywTjmPa\kUKlM}nAdb]pNOlZmMs]nuMR[VqSf\}`Jq]sK lmGNlO]cGtqO[x_`oIMWUNgy~xSaffNxN]pMjwNw{^VBh{qQWbo|~_~h|yCgwm_BX|@PpQHT^} gX}XiW}A]PA|d_DQULTJH\uGNhzyRQh{]\egrYaKE@z`DxwqHRxAfU|gGEbgwHfaeXUtLqxlIKk XLubIVCfauGM^YKBJjb`X\EbXHO^d~XPrCIxXaXstQBe]WRJC|TCYPjdAZeYiY\eZICyexwLmH] Y_}OzhXbfiyNJfjWUre[YYFfnY\ZLbilUPhYTvczI_vgdhRVHii_rcox`ZhmI`VIsaBeEJcZhS 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x@\k~~C@EhHD@i|SW@@TV{APVuqI@tQIp@`HjMC`g~rM@vZM{@|L|}C`KPXD@DMBX@tUN~AP^Py I@Vjfp@hz_OCpoVzM@@BH`@|O@@@@@C@@O@@@@@Cp@|O@@|@|C@A@@@@tH@@@L@@@ @PM@T@@@@@CBhyXBoCA@@@@BDP@@L@@@@`G@TA@@@p~B@T@@@@@@@@PF@@@@@@@@@@@PUZmUv\ `xTYwAbTouVXnA@K@P@@@@PKAD@@D@@@@xR@X@PB@@@@zK@@@@@@@@@@@@@@b@@A@@@@mD`@@\@ @@@@B@@@@@@@@@@@D@@@@tR@C@PB@@@@zK@@@PB@@@@@@@@@b@@A@@@@mD@A@T@@@@@EBLBVtW PA@@@@SHPTQgAI@@@@ho@@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@E@@A@@@@pG@A@T@@@@@EBtOUtYPA@ @@@SH@URMnAI@@@@ho@@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@D@@A@@@@pGPA@T@@@@@EBPeTc[PA@@@@ SH`[O}uAI@@@@ho@@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@E@@A@@@@pG@A@T@@@@@EBxvS_]PA@@@@SHp fLu}AI@@@@ho@@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@D@@A@@@@pGPA@T@@@@@EBlIS]_PA@@@@SH@yIi EBI@@@@ho@@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@E@@A@@@@pG@A@T@@@@@EBP^RZaPA@@@@SH@]GyLBI @@@@ho@@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@D@@A@@@@pGPA@T@@@@@EBPwQNcPA@@@@SHp@EYTBI@@@ @ho@@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@E@@A@@@@pG@A@T@@@@@EBLPQFePA@@@@SH`dBI\BI@@@@ho @@@@I@@@@@@@@@HB@D@@@@tR@D@@A@@@@pGPA@T@@@@@EBHiPBgPA@@@@SHPN@ycBI@@@@ho@@@ 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