\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 112 Lecture 1/28/99} \section{Ma 112} \subsection{Solving Linear Equations: Chapter 2{}} \subsubsection{Vectors and Linear Equations 2.1} \hyperref{Review of Basics of Lines}{}{}{% http://golem.math.stevens-tech.edu/llevine/ma112/lines.rap} \paragraph{Example} Graph $3x-2y=11.$ First we solve for $y.$ $3x+2y=11$, Solution is: $\left\{ y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}\right\} $ We may now graph this line. $y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{plot_line.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'plot_line.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}Definition: An equation of the form \vspace{1pt} \[ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b \] \vspace{1pt} is called a \emph{linear equation} in the $n$ variables $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}.$ Here $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ denote real numbers (called the \emph{coefficients} of $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ respectively) and $b$ is also a real number (called the \emph{constant term }of the equation). A finite collection of linear equations in the variables $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ is called a \emph{system of linear equations} in these variables. \vspace{1pt} Definition: Given a linear equation $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,$ a sequence $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}$ of $n$ numbers is called a \emph{solution} to the equation if \[ a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\cdots +a_{n}s_{n}=b \] that is, if the equation is satisfied when the substitutions $x_{1}=s_{1},$ $% x_{2}=s_{2},$ $\ldots ,x_{n}=s_{n}$ are made. A sequence of numbers is called a \emph{solution to a system }of equations if it is a solution to every equation in the system. \paragraph{Example} Suppose we want to solve the system of equations \begin{eqnarray} x-2y &=&1 \TCItag{$\left( 1\right) $} \\ 3x+2y &=&11 \nonumber \end{eqnarray} $\vspace{1pt}$graphically. We can do this in SNB as follows. $x-2y=1$, Solution is : $\left\{ y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right\} $ $3x+2y=11$, Solution is : $\left\{ y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}\right\} $ $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ \begin{center} \FRAME{dtbpFU}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{\Qcb{Row Picture}}{}{% intersect_line.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'intersect_line.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} It is not hard to see that these two lines intersect at $\left( 3,1\right) $ so $x=3,y=1$ is the solution to the system. \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ We can check this using SNB as follows: \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \QTP{Body Math} \begin{eqnarray} x-2y &=&1 \TCItag{$\left( 1\right) $} \\ 3x+2y &=&11 \nonumber \end{eqnarray} , Solution is: $\left\{ x=3,y=1\right\} .$ \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \subsubsection{SNB ICE} Graph the system of equations \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x-3y &=&5 \\ 2x+y &=&1 \end{eqnarray*} \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ Now use SNB to find the solution to the system. The figure above is called the \emph{row picture} of the two equations in two unknowns. The \emph{row picture} shows the two lines meeting at a single point. \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ One can also generate what is called the \emph{column picture.} This uses \emph{vectors}. We may rewrite the equations in $\left( 1\right) $ as \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \QTP{Body Math} \begin{equation} x\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right] +y\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \tag{$\left( 2\right) $} \end{equation} \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ The question is what values of $x$ and $y$ make $\left( 2\right) $ true. We know the answer is $x=3,y=1.$ Thus we can generate the $\emph{c}$\emph{olumn picture} below. The column picture combines the columns on the left side of $% \left( 2\right) $ to produce the vector on the right side. \begin{center} $\FRAME{itbpFU}{3.3736in}{3.3736in}{0in}{\Qcb{Column Picture}}{}{column.wmf}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.3736in;height 3.3736in;depth 0in;original-width 5.2088in;original-height 5.2088in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'column.wmf';file-properties "XNPEU";}}$ \end{center} \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ Let us note that we can write the solution to $\left( 1\right) $ as the \emph{linear combination} \QTP{Body Math} \[ 3\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \] One has to keep in mind that this last equation involves both scalar multiplication and vector addition. We defined these concepts earlier. \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ The system $\left( 1\right) $ can be rewritten in terms of matrices in the form \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \QTP{Body Math} \[ \left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \] \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ or \QTP{Body Math} \[ AX=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \] \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ where $A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] $ and $X=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] .$ \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \paragraph{Example:} We have seen that we may use SNB to solve $\left( 1\right) .$ We enter \begin{eqnarray*} x-2y &=&1 \\ 3x+2y &=&11 \end{eqnarray*} Solution is: $\left\{ y=1,x=3\right\} $ We can also use SNB to solve the system in matrix form. $\left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] $, Solution is: $\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} What we have done for this example may be generalized. \hyperref{Entering Systems of Equations}{}{}{% http://golem.math.stevens-tech.edu/llevine/ma112/enter_sys_eqs_2.1.tex} \vspace{1pt} What we have said about two equations in two unknowns can be generalized. \vspace{1pt} \hyperref{Systems of Linear Equations}{}{}{% http://golem.math.stevens-tech.edu/llevine/ma112/sys_linear_eqs.tex} \vspace{1pt} \subsubsection{SNB ICE} \vspace{1pt} Find all solutions of the system \vspace{1pt} \begin{center} $x+y+2z=-1$ $2x+y+3z=0$ $-2y+z=2$ \vspace{1pt} \end{center} \subsection{The Idea of Elimination: 2.2} \subsubsection{Example} Consider the system \begin{eqnarray*} x-y &=&1 \\ 3x+y &=&7 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} We shall use elimination to solve this system. We eliminate $x$ from the second equation by multiplying the first by $3$ and subtracting it from the second. We get \begin{eqnarray*} x-y &=&1 \\ 4y &=&4 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Elimination produced an \emph{upper triangular system. }We may now solve the system by noting that the second equation above implies that $y=1.$ Substituting the $y=1$ into the first equation to get $x=2.$ This is called \emph{back substitution.} The first nonzero in the row that does the elimination is called the \emph{pivot.} Thus the first pivot for our system in $1$ whereas the second pivot is $4.$ The entry to eliminate divided by the pivot is called the \emph{multiplier.} In our case the multiplier is $3.$ \vspace{1pt}Note: \emph{A pivot cannot be zero.} \vspace{1pt} Let us note that elimination may breakdown. Indeed if one has two equations in two unknowns then there are three possibilities for the corresponding straight lines: \vspace{1pt} 1. The lines intersect in a single point. Then the system has a \emph{unique solution} corresponding to that point. (Elimination works for such a case.) 2. The lines are parallel and distinct and hence do not intersect. Then the system has no solution. (Elimination fails permanently here.) 3. The lines are identical. The system has infinitely many solutions. (Again elimination fails permanently here.) \vspace{1pt} \paragraph{Example} The system above is an example of 1. \vspace{1pt} \subsubsection{SNB ICE} Graph the system \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x-y &=&1 \\ 3x+y &=&7 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} The system \begin{eqnarray*} x+y &=&4 \\ x+y &=&2 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} is an example of 2. Elimination of $x$ from the second equation leads to \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x+y &=&4 \\ 0y &=&-2 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Note that the system has no second pivot. (Zero can never be a pivot.) \vspace{1pt} \subsubsection{SNB ICE} Graph the original system using SNB. \vspace{1pt} The system \begin{eqnarray*} 3x-y &=&4 \\ -6x+2y &=&-8 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} is an example of 3. Elimination leads to \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} 3x-y &=&4 \\ 0y &=&0 \end{eqnarray*} The unknown $y$ is thus \emph{free.} \vspace{1pt} \subsubsection{\protect\vspace{1pt}SNB ICE} Graph this system using SNB. \vspace{1pt} One may have what is called \emph{temporary failure.} In such a case a row exchange produces two pivots: \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} 0x+2y &=&4 \\ 3x-2y &=&5 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} If we exchange the two equations, we get \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} 3x-2y &=&5 \\ 2y &=&4 \end{eqnarray*} We now have an upper triangular form with the pivots $3$ and $2.$ \subsubsection{\protect\vspace{1pt}Several Equations in Several Unknowns} \vspace{1pt} \paragraph{Example} Solve the system \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2} &=&-3 \\ 2x_{1}+3x_{2}-2x_{3} &=&-10 \\ -x_{1}+6x_{3} &=&9 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} To better illustrate the procedure of elimination we write the system in the equivalent form \begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2}+0x_{3} &=&-3 \\ 2x_{1}+3x_{2}-2x_{3} &=&-10 \\ -x_{1}+0x_{2}+6x_{3} &=&9 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} We first eliminate the variable $x_{1}$ from the second and third equations. We multiply the first pivot $1$ by $2$ and subtract the first equation from the second equation. \vspace{1pt} Note: The convention in Strang's book is to \emph{subtract rather than add.} We could just as easily have multiplied the first equation by $-2$ and added it to the second equation. However, this is not Strang's convention. \vspace{1pt} We may eliminate the $x_{1}$ in the third equation by multiplying the first equation by $-1$ and subtracting it from the third equation. We now have \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2}+0x_{3} &=&-3 \\ -x_{2}-2x_{3} &=&-4 \\ 2x_{2}+6x_{3} &=&6 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} We now eliminate $x_{2}$ from the new third equation. The second pivot is $% -1.$ We multiply the second pivot by $-2$ and subtract the result from the third equation. We get \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2}+0x_{3} &=&-3 \\ -x_{2}-2x_{3} &=&-4 \\ 2x_{3} &=&-2 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Thus the third pivot is $2.$ We may now solve the system by back substitution. We have \vspace{1pt} \begin{center} $2x_{3}=-2\Longrightarrow x_{3}=-1,\qquad -x_{2}-2x_{3}=-4\Longrightarrow x_{2}=6,\qquad x_{1}=-15\qquad $ \vspace{1pt} \end{center} We note that we may use SNB to solve the original system. \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2} &=&-3 \\ 2x_{1}+3x_{2}-2x_{3} &=&-10 \\ -x_{1}+6x_{3} &=&9 \end{eqnarray*} , Solution is: $\left\{ x_{3}=-1,x_{1}=-15,x_{2}=6\right\} $ \vspace{1pt} The procedure we have outlined may be extended to $n$ equations in $n$ \ unknowns. It is called forward elimination. The procedure is \vspace{1pt} 1. \ Use the first equation to create zeros below the first pivot. \vspace{1pt} 2. Use the new second equation to create zeros below the second pivot. \vspace{1pt} 3. Keep going to find the $nth$ pivot. \vspace{1pt} The result will be an upper triangular system. It is called \emph{nonsingular% } if it has a full set of $n$ pivots (never zero). \vspace{1pt} \subsubsection{SNB ICE} Use forward elimination to solve \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x+3y-z &=&4 \\ -2x+y+3z &=&9 \\ 4x+2y+z &=&11 \end{eqnarray*} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec1_28_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/plot_line.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@P\GXOA{I@@@@@P@aH@@I@@@CH_C@@`A@t_@@@@@@t_@@@p}@@p@|C@@@@@@@B@ @@@@`@@@`@B@@@@@`@@H@@B@@@BH@@CLp@|qG_@PLqDC@FYdQ@tUW]A@dPBI@Yg]v@D_|qCPO@@ @@aA@@@XH@@@Pk@@@@UC@@@|FZ@py`C@kEV@|o_|ApfNJ@G]s@lsD@@pW[@@@ENR@@pzJA @PutD@@wS@@|oTZ@piUC@KxT@|_gtAp{^I@o]o@TcEA@pTgD@@seS@@PISB@pm_I@@ZOg@ @|aC@pV~A@_zO@|onbApNgH@SNm@tBIA@`S~H@@oae@@Dy\C@@mMR@@WgJA@hOqE@`~MCB @{[mO@pOx^A@kGH@}_Oj@PRKF@`RRU@@nQGA@@YeC@pksJ@@L{\@@\NzA@pGB@O\@|]B @FrH@@gHu@@\c\D@pQTV@@X]kA@dfvG@`^c@@`~OO@X{[A`swG@hoh@@`O@@@@eA@@@lH@@ @`l@@@@XC@@[|oF@`uVA`^cG@_~Og@X|BCP@slA@BpeK@LPa@A@AmNE@DX]Y@TpxAPG[H@ 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O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @ @p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@ p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@ C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@ p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@ p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@ @p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@ p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@ p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C @@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p @@p@@p@@p@@p O@C@@C@ @Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@ @p @@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@ @C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@ @p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@ @p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@ @p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p @@p@@p@@p@@p O@C@@ C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@ @p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@ @p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@ @p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@ @p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@ @p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@ @p@@p O@C@@ C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@ @p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@ @p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@ @p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@ @p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @ @p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @ @p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @ @p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@ p O@C@@C @@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@ p@@p O@C @@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@ p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@ p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@ p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@ @C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@ @p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@ p @@p@@p@@p@@p@@p @@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@ p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@ p@@p @@p@@p @@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@ C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@ p@@p @@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@ p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@ p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@ C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@ p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p @@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@ C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@ p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@ p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@ @p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@ p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@ @p@@p O@C@@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C @@C@@Cp@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@ @p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@ @p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@ @p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @ @p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@ @C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@ p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@ p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@ p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p @@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@ C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@ p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p @@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@ C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p @@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p O@C@@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@@@C@@C@@Cp@ @p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p @@p@@p @@p@@p@@p@@p @@p@@p @@p 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@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C @@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p @@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@ @C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@ @p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@pO@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@ p @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@@ @C@@C@@Cp@@p@@p @@p@@p@@p@@p@@p 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O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p @@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@ @C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@ Cp@@p@@p @@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@ C@@C@@Cp@@p @@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C @@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp@@p @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@ C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p 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