%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 2.5 % % Scientific Word Wrap/Unwrap Version 3.0 % % % % If you are separating the files in this message by hand, you will % % need to identify the file type and place it in the appropriate % % directory. The possible types are: Document, DocAssoc, Other, % % Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files % % tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file % % directory. Macro files go into your TeX macros directory. Style % % files are used by Scientific Word and do not need to be extracted. % % Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a % % graphics directory. % % % % Graphic files need to be converted from the text format (this is % % done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % Files included: % % % % "/document/lec1_26_99.tex", Document, 13294, 1/25/1999, 19:42:44, ""% % "/document/TEMP/dot_cos.jpg", ImportPict, 9002, 1/18/1999, 13:26:36, ""% % "/document/plot_line.wmf", ImportPict, 7162, 12/13/1998, 18:06:54, ""% % "/document/intersect_line.wmf", ImportPict, 9578, 12/13/1998, 18:16:42, ""% % "/document/column.wmf", ImportPict, 751190, 1/11/1999, 14:02:30, "" % % % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/lec1_26_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0 \documentclass{article} \usepackage{amssymb} \usepackage{makeidx} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Created=Monday, January 25, 1999 14:06:04} %TCIDATA{LastRevised=Monday, January 25, 1999 14:42:43} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=Lab Report.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{AllPages= %F=36,\PARA{038

\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 112} \subsection{Lecture 1/26/99} Recall from last time. \vspace{1pt} The \emph{dot product} (or \emph{inner product}) \index{Inner product@Inner product}\label{Inner product}of two vectors $% \left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) $ and $\left( b_{1},b_{2},...,b_{n}\right) $ is defined by \[ \left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) \cdot \left( b_{1},b_{2},...,b_{n}\right) =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n} \] \vspace{1pt} If $x$ is a vector in $R^{n}$, then the \textbf{length} (or \textbf{norm}) of $x$ is defined by $\left| \left| x\right| \right| =\sqrt{% x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}$. \vspace{1pt} You can compute \index{Vector@Vector!norm@norm}vector norms in \textsl{Scientific Notebook} for every positive integer $n$, where \[ \Vert v\Vert _{n}=\left( \sum \left| v_{i}\right| ^{n}\right) ^{% \frac{1}{n}} \] and for $\infty $, with \[ \left\| v\right\| _{\infty }=\max \left( \left| v_{i}\right| \right) \] \vspace{1pt} \begin{quote} $\blacktriangleright $ \textsf{Define + New Definition} \end{quote} \begin{quotation} $v=[3,2,1]\medskip $ \end{quotation} \begin{quote} $\blacktriangleright $ \textsf{Evaluate, Evaluate Numerically} \end{quote} \begin{quotation} $\left\| v\right\| _{1}=\,6\vspace{6pt}$ $\left\| v\right\| _{2}=\,\sqrt{14}=\,3.7417\vspace{6pt}$ $\left\| v\right\| _{6}=\,\sqrt[6]{794}=\,3.043\vspace{6pt}$ $\left\| v\right\| _{20}=\,\sqrt[20]{34878\,32978}=\,3.000045103\vspace{6pt}$ $\left\| v\right\| _{50}=\allowbreak \sqrt[50]{717\,897\,\allowbreak 988\,817\,752\,\allowbreak 495\,612\,874}=\allowbreak 3.0$ $\left\| v\right\| _{\infty }=\,3\medskip $ \end{quotation} This series of examples suggests that for a vector $v$, \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\left\| v\right\| _{n}=\left\| v\right\| _{\infty } \] \label{Euclidean norm}The default $\left\| v\right\| $ is the 2-norm, which is also known as the \index{Euclidean norm@Euclidean norm}\textsl{Euclidean norm}.\medskip \bigskip \subsubsection{\protect\vspace{1pt}SNB ICE} Strang, page 17 \#1 Let $u=\left[ \begin{array}{c} -.6 \\ .8 \end{array} \right] \qquad v=\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right] \qquad w=\left[ \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right] $ Calculate the dot products $u\cdot v,u\cdot w,v\cdot w$ and $w\cdot v.$ \subsubsection{Unit Vectors\label{unit vectors}} Given any nonzero vector $x$, the vector $z=% \dfrac{x}{\left| \left| x\right| \right| }$ is a \textbf{unit vector }in the direction of $x$. A unit vector has length norm equal to $1.$ \paragraph{Example:} Let $x=\left[ 1,-3,4\right] .$ Then $z=\dfrac{x}{\left\| x\right\| }% =\allowbreak \frac{1}{26}\left[ 1,-3,4\right] \sqrt{26}$ is a unit vector in the direction of $x.$ \subparagraph{\protect\vspace{1pt}} Theorem Let $u$ and $v$ be vectors in $R^{2}$ or $R^{3},$ and let $\theta $ be the angle between $u$ and $v.$ Then \[ u\cdot v=\left\| u\right\| \left\| v\right\| \cos \theta . \] \subparagraph{Proof:} Consider the triangle determined by $u$ and $v.$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{4.2575in}{3.2007in}{0pt}{}{}{dot_cos.jpg}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.2575in;height 3.2007in;depth 0pt;original-width 385.4375pt;original-height 289.0625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/TEMP/dot_cos.jpg';file-properties "XNPEU";}} \end{center} Let $a=\left\| u\right\| ,$ $b=\left\| v\right\| ,$ and $c=\left\| v-u\right\| .$ Now $v-u$ is equivalent to the directed line segment $% \overrightarrow{UV}$, so $c$ is the length of the third side of the triangle. Applying the law of cosines, $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta ,$ we have \begin{center} $\left\| v-u\right\| ^{2}=\left\| u\right\| ^{2}+\left\| v\right\| ^{2}-2\left\| u\right\| \left\| v\right\| \cos \theta \qquad \qquad \left( 1\right) $ \end{center} Now \begin{center} $\left\| v=u\right\| ^{2}=\left( v-u\right) \cdot \left( v-u\right) =\left\| v\right\| ^{2}-2\left( u\cdot v\right) +\left\| u\right\| ^{2}\qquad \left( 2\right) $ \end{center} $\vspace{1pt}$ The result follows from the right hand sides of $\left( 1\right) $ and $% \left( 2\right) .$ $\vspace{1pt}$ \subparagraph{Corollary:} Let $u$ and $v$ be vectors in $R^{2}$ or $R^{3}.$ Then $u\cdot v=0$ \ $% \Longleftrightarrow u$ $\bot $ $v.$ \vspace{1pt} \subparagraph{Corollary: Schwarz Inequality} \vspace{1pt} If $u$ and $v$ are any vectors, then $\left| u\cdot v\right| \leq \left\| u\right\| \left\| v\right\| $ \vspace{1pt} Definition: The \emph{Euclidean distance} between two vectors $u$ and $v$ is defined by \[ d=\left\| u-v\right\| \] \vspace{1pt} \subsubsection{SNB ICE} \vspace{1pt} Let $u=\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right] $ and $v=\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right] .$ Find $\left\| u\right\| $ and the distance between $u$ and $v.$ Check the Schwarz Inequality for these vectors. \section{Ma 112} \subsection{Solving Linear Equations: Chapter 2{}} \subsubsection{Vectors and Linear Equations 2.1} \hyperref{Review of Basics of Lines}{}{}{% http://golem.math.stevens-tech.edu/llevine/ma112/lines.rap} \paragraph{Example} Graph $3x-2y=11.$ First we solve for $y.$ $3x+2y=11$, Solution is: $\left\{ y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}\right\} $ We may now graph this line. $y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}$ \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{}{}{plot_line.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'plot_line.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \vspace{1pt}Definition: An equation of the form \vspace{1pt} \[ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b \] \vspace{1pt} is called a \emph{linear equation} in the $n$ variables $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}.$ Here $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ denote real numbers (called the \emph{coefficients} of $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ respectively) and $b$ is also a real number (called the \emph{constant term }of the equation). A finite collection of linear equations in the variables $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ is called a \emph{system of linear equations} in these variables. \vspace{1pt} Definition: Given a linear equation $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,$ a sequence $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}$ of $n$ numbers is called a \emph{solution} to the equation if \[ a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\cdots +a_{n}s_{n}=b \] that is, if the equation is satisfied when the substitutions $x_{1}=s_{1},$ $% x_{2}=s_{2},$ $\ldots ,x_{n}=s_{n}$ are made. A sequence of numbers is called a \emph{solution to a system }of equations if it is a solution to every equation in the system. \paragraph{Example} Suppose we want to solve the system of equations \begin{eqnarray} x-2y &=&1 \TCItag{$\left( 1\right) $} \\ 3x+2y &=&11 \nonumber \end{eqnarray} $\vspace{1pt}$graphically. We can do this in SNB as follows. $x-2y=1$, Solution is : $\left\{ y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right\} $ $3x+2y=11$, Solution is : $\left\{ y=-\frac{3}{2}x+\frac{11}{2}\right\} $ $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ \begin{center} \FRAME{dtbpFU}{3.0441in}{2.0384in}{0pt}{\Qcb{Row Picture}}{}{% intersect_line.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.0441in;height 2.0384in;depth 0pt;original-width 3in;original-height 2.0003in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'intersect_line.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} \QTP{Body Math} It is not hard to see that these two lines intersect at $\left( 3,1\right) $ so $x=3,y=1$ is the solution to the system. \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \QTP{Body Math} We can check this using SNB as follows: \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \QTP{Body Math} \begin{eqnarray} x-2y &=&1 \TCItag{$\left( 1\right) $} \\ 3x+2y &=&11 \nonumber \end{eqnarray} , Solution is: $\left\{ x=3,y=1\right\} .$ \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \subsubsection{SNB ICE} Graph the system of equations \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x-3y &=&5 \\ 2x+y &=&1 \end{eqnarray*} \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ Now use SNB to find the solution to the system. The figure above is called the \emph{row picture} of the two equations in two unknowns. The \emph{row picture} shows the two lines meeting at a single point. \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ One can also generate what is called the \emph{column picture.} This uses \emph{vectors}. We may rewrite the equations in $\left( 1\right) $ as \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \QTP{Body Math} \begin{equation} x\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right] +y\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \tag{$\left( 2\right) $} \end{equation} \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ The question is what values of $x$ and $y$ make $\left( 2\right) $ true. We know the answer is $x=3,y=1.$ Thus we can generate the $\emph{c}$\emph{olumn picture} below. The column picture combines the columns on the left side of $% \left( 2\right) $ to produce the vector on the right side. \begin{center} $\FRAME{itbpFU}{3.3736in}{3.3736in}{0in}{\Qcb{Column Picture}}{}{column.wmf}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.3736in;height 3.3736in;depth 0in;original-width 5.2088in;original-height 5.2088in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'column.wmf';file-properties "XNPEU";}}$ \end{center} \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ Let us note that we can write the solution to $\left( 1\right) $ as the \emph{linear combination} \QTP{Body Math} \[ 3\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} -2 \\ 2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \] One has to keep in mind that this last equation involves both scalar multiplication and vector addition. We defined these concepts earlier. \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ The system $\left( 1\right) $ can be rewritten in terms of matrices in the form \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \QTP{Body Math} \[ \left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \] \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ or \QTP{Body Math} \[ AX=\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] \] \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ where $A=\left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] $ and $X=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] .$ \QTP{Body Math} $\vspace{1pt}$ \paragraph{Example:} We have seen that we may use SNB to solve $\left( 1\right) .$ We enter \begin{eqnarray*} x-2y &=&1 \\ 3x+2y &=&11 \end{eqnarray*} Solution is: $\left\{ y=1,x=3\right\} $ We can also use SNB to solve the system in matrix form. $\left[ \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 11 \end{array} \right] $, Solution is: $\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} What we have done for this example may be generalized. \hyperref{Entering Systems of Equations}{}{}{% http://golem.math.stevens-tech.edu/llevine/ma112/enter_sys_eqs_2.1.tex} \vspace{1pt} What we have said about two equations in two unknowns can be generalized. \vspace{1pt} \hyperref{Systems of Linear Equations}{}{}{% http://golem.math.stevens-tech.edu/llevine/ma112/sys_linear_eqs.tex} \vspace{1pt} \subsubsection{SNB ICE} \vspace{1pt} Find all solutions of the system \vspace{1pt} \begin{center} $x+y+2z=-1$ $2x+y+3z=0$ $-2y+z=2$ \end{center} \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x+3y-z &=&4 \\ -2x+y+3z &=&9 \\ 4x+2y+z &=&11 \end{eqnarray*} \vspace{1pt} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec1_26_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/TEMP/dot_cos.jpg %%%%%%%%%%%%%%%%%% c}`C@DJYTRFAP@ADP@lD@K@@p[CpP@``AF\`AE`pAG\PBI``BLPQCLlpBLdaDS|@E]hqG^ta F\pAHdxrI`HBKcpAGh\SJl@SLtPCM_\RN}`cL|xrLtHs[CpPAdPBIppBL`QCM`aLapQHrHcLrH cLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHcLrHs@CPDHD@`B@p@A HB@BDQ@CDQ@SL@_@@@ATP@ADP@AD@@@@@@@@@@@D`@CPPAF\@BIhpBSL@uBA@BDp@CH@ACTPA DP@@@DP_AHp@@PPDEHQHqDdASDUXGHR\THS`QFJBcHTlAWaTQCOIsHf\Bf`BV\AFYhQIf\BJihB MuXsMxdcNCQTQF]DRIitTTUeUWaUVZMFYeYvYhefZsQW]v]G^yiw`DVhaGbXbJJydTVieWbYfZJ zhdVjigbZjjJ{ltVkmwb[nzJ|pDWlqGc\rJK}tTWmuWc]vZGnxcS^yf_Nzik^|rOO}u[}xgo~ SL@_D@@CDP@ADP@ADP@A@@@@@@@@D`@CPPAF\@BIhpBSL@uFA@BD`@DPp@D\PADP@@AHp]@D`@ CDAAEDRLFHQPQ]PXqMaHrDHBTHTdaF[pILrLRA_EbIWtJXAItD^Iq_AFYhaIg`RJjTcMw`SNzLD QEYtQHedRSQUUV]EVYiuXdUfYgaVZjMG]uYw]xeg^BNHaEZxaHfhbRNIeUZyeXfifbNJieZzihf jjrNKmuZ{mxfknBOLqE[|qHglrROMuU[}uXgmvbONye[~yhgnzrOO}u[}xgo~kM@LLP@@HPDC DA@@p}zcbh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh @j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ `J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbB hBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@ j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ` J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBh BhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j @JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J `bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhB hHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@JbBhBhHJ`J`bh@j@ JbBhBOW]]}nCQ{_a}M^|dvoNnlwjFuv|~Xwk@LNN|pyCzAmkoHnSUvGjiiWMuWHmW^vQVwRmyt ZxfgeXKZWyLRwYCSfKFAGPgC@`t}yvz]Gd|Cv_`v@dxgY{svdsv[uoc}nu]cnGcgySuazu[d r}SlrG\_ZuaJUMXSKF|C@vEW]yLZ[zdxi^~^a^CF]lH_PynESrtkH@hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb @`bhJB@JbjH@hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb@`bhJB@JbjH @hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb@`bhJB@JbjH@hHjb@`rk` 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 O@C@@C@@C@@C@@Cp                      @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C p                      @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p@ @p O@C@@C@@C@@C@@Cp                       @@p@@p@@p@@p O @C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p@@p O@ C@@C@@C@@C@@Cp                      @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp                       @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p@ @p O@C@@C@@C@@C@@Cp                       @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@C@@ Cp                      @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@C@@Cp @@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp                       @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@ @p@@p@@p@@p@@pO@C@@ C@@C@@C@@Cp                       @@p@@p@@p@@p  O@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@@p@@p@@ p@@p@@p@@p@@pO@C@@C@@C@@C@@Cp                       @@p@@p@@p@@p  @@p@@p@@@@C@@C@@ Cp@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p@@p O@C@@C@@C@@Cp                       @@p@@p@@p@@p  @@p@@p@@p@@@@C@@C@@Cp@@p@@p@@p@ @p@@p@@p@@p@@p@@p@@pO@C@@C@@C@@C@@Cp                        @@p@@p@@p@@p  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