\hfill 1.1 - \thepage } %} \input{tcilatex} \begin{document} \section{Ma 112} \subsection{Introduction to Vectors: {}Chapter 1} \subsubsection{Vectors and Linear Combinations 1.1} \vspace{1pt}Definition of a Vector A \textbf{real n-vector }is an ordered sequence of $n$ real numbers. The set of all real $n$-vectors is denoted $R^{n}$. \subsubsection{Vector Addition} Let $x=\left[ x_{1},x_{2},...,x_{n}\right] $ and $y=\left[ y_{1},y_{2},...,y_{n}\right] $ be vectors in $R^{n}$. Then $x+y$, the \textbf{sum} of $x$ and $y$, is the vector \[ \left[ x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,x_{n}+y_{n}\right] \] in $R^{n}$. \paragraph{Example$\left( a,b\right) +\left( c,d\right) =\allowbreak \left( a+c,b+d\right) $} $\qquad \qquad \ \ \left( 2,5\right) +\left( 3,-1\right) =\allowbreak \left( 5,4\right) $ \vspace{1pt} \subsubsection{Multiplication of a Vector with a Scalar} Let $x=\left[ x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right] $ be a vector in $R^{n}$, and let $c$ be any scalar (real number). Then $cx$, the \textbf{scalar multiple of }$x$\textbf{\ by} $c$, is the vector \[ \left[ cx_{1},cx_{2},cx_{3},...,cx_{n}\right] \] obtained by multiplying each coordinate of $x$ by $c$. \paragraph{Example: $\protect\lambda \left( a,b\right) =\allowbreak \left( \protect\lambda a,\protect\lambda b\right) $} $\qquad \qquad \qquad \frac{1}{2}\left( 4,-5\right) =\allowbreak \left( 2,-% \frac{5}{2}\right) $ \vspace{1pt} \subparagraph{Remark:} \begin{center} $\left( -1\right) \left[ y_{1},y_{2},y_{3},...,y_{n}\right] =\left[ -y_{1},-y_{2},-y_{3},...,-y_{n}\right] .$ \end{center} Thus $x-y=x+\left( -1\right) y=\left[ x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2},...,x_{n}-y_{n}% \right] $ \subsubsection{Fundamental Properties of Addition and Scalar Multiplication for Vectors\label{vector properties}} Let $x=\left[ x_{1},x_{2},...,x_{n}\right] $ and $y=\left[ y_{1},y_{2},...,y_{n}\right] $ and $z=\left[ y_{1},y_{2},...,y_{n}\right] $ be any vectors in $R^{n}$, and let $c$ and $d$ be any scalars. Let $0$ represent the zero vector in $R^{n}$. Then \begin{enumerate} \item $x+y=y+x\mathbf{\qquad }$Commutative Law of Addition \item $x+\left( y+z\right) =\left( x+y\right) +z\mathbf{\qquad }$% Associative Law of Addition \item $0+x=x+0=x\mathbf{\qquad }$Existence of Identity Element for Addition \item $x+\left( -x\right) =\left( -x\right) +x=0\mathbf{\qquad }$Existence of Inverse Elements for Addition \item Distributive Laws of Scalar Multiplication over Addition \begin{enumerate} \item $c\left( x+y\right) =cx+cy$ \item $\left( c+d\right) x\mathbf{=}cx\mathbf{+}dx$ \end{enumerate} \item $\left( cd\right) x\mathbf{=}c\left( dx\right) \qquad $Associativity of Scalar Multiplication \item $1x\mathbf{=}x\mathbf{\qquad }$Existence of Identity Element for Scalar Multiplication \end{enumerate} \subsection{Notation for Vectors} \label{Vector} \index{Vector@Vector}You can enter vectors in \textsl{Scientific Notebook} in any one of the following ways. \begin{itemize} \item $1$ $\times $ $n$ matrices: $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \end{array} \right] $, $\left[ \begin{array}{cccccc} 5 & -1 & 3 & 17 & -8 & 2 \end{array} \right] $, $\left[ \begin{array}{cccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \end{array} \right] $ \item $n\times 1$ matrices: $\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right] $, $\left[ \begin{array}{c} 35 \\ -4 \end{array} \right] $, $\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array} \right) $ $n$-tuples within parentheses or brackets: $(2,-1,0)$, $\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) $, $\lbrack 3,2,1\rbrack $, $\left[ x_{1},x_{2},x_{3}\right] $ \end{itemize} \strut This flexibility allows you to use the output of previous work as input, without undue worry about the shape of the output. For purposes of clear exposition, you will find it preferable to use consistent notation. \begin{quote} $\blacktriangleright $ To create a vector in matrix form \end{quote} \begin{enumerate} \item[1.] Click% \FRAME{itbpF}{0.3009in}{0.3009in}{0.0701in}{}{}{matrix.wmf}{\special% {language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 0.3009in;height 0.3009in;depth 0.0701in;original-width 17.8125pt;original-height 16.9375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/TEMP/Matrix.wmf';file-properties "XNPEU";}} or choose \textsf{Insert + Matrix.} \item[2.] Set the number of rows (or columns) to $1$ and the other number to the dimension you wish. \item[3.] Enter the values for the components in the input boxes.\medskip \end{enumerate} \paragraph{Example:$\left( \begin{array}{lll} 1 & 3 & -2 \end{array} \right) ,\left[ \begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right] $} \subsection{\ Vector Sums\label{Vector sums}} \begin{quote} $\blacktriangleright $ To evaluate a vector expression \end{quote} \begin{enumerate} \item[1.] Type the expression in mathematics mode \item[2.] Choose \textsf{Evaluate}. \end{enumerate} $\blacktriangleright $ \textsf{Evaluate} \begin{quotation} $\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) +\left( y_{1},y_{2},y_{3}\right) =\allowbreak \left( x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3}\right) \medskip $ $(2,-1,0)+(2,3,-5)=\allowbreak \left( 4,2,-5\right) \medskip $ $\left[ 1,2,3,4.3\right] -\left[ 3,-5.1,6,0\right] =\allowbreak \left[ -2,7.\,1,-3,4.\,3\right] \medskip $ $\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right) =\allowbreak \left( \begin{array}{c} a+c \\ b+d \end{array} \right) \medskip $ $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] -\left[ \begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right] \medskip $ $\left[ \begin{array}{cc} x & y \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{cc} w & z \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cc} x+w & y+z \end{array} \right] \medskip $ \end{quotation} \paragraph{\strut Example:} $\vspace{1pt}$ $\left( \begin{array}{l} 1 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{l} 4 \\ -2 \\ 6 \end{array} \right) =\allowbreak \left( \begin{array}{c} 5 \\ -4 \\ 10 \end{array} \right) $ or $\left( \begin{array}{lll} 1 & -2 & 4 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{lll} 4 & -2 & 6 \end{array} \right) =\allowbreak \left( \begin{array}{ccc} 5 & -4 & 10 \end{array} \right) $ $\left( \begin{array}{l} 1 \\ -2 \\ 4 \end{array} \right) -\left( \begin{array}{l} 4 \\ -2 \\ 6 \end{array} \right) =\allowbreak \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right) .$ \vspace{1pt} \subsubsection{SNB In Class Exercise (SNB ICE) \emph{\ }} 1. Given the vectors $u=\left( 3,-1,2\right) $ \ and $v=\left( 1,0,-1\right) ,$ compute $u+v,3u,$ and $2u-3v.$ 2. Let $u=\left( -1,1,2\right) $, $v=\left( 2,0,3\right) ,$ and $w=\left( -1,3,9\right) .$ Compute $\frac{1}{3}\left( 3u-v+4w\right) ,$ $2v-3\left( u+w\right) ,$ and $2\left( u+v\right) -\left( v+w-u\right) .$ \vspace{1pt} 3. Find the value(s) (if any) of $a$ and $b$ that make the equalities true. \vspace{1pt} $\left[ \begin{array}{c} a-1 \\ a+b \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] ,\qquad $ $\vspace{1pt}$ $\left[ \begin{array}{c} a-b \\ a+2b \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} b \\ 0 \end{array} \right] $ \begin{eqnarray*} a-b &=&b \\ a+2b &=&0 \end{eqnarray*} , Solution is: $\left\{ b=0,a=0\right\} $ \paragraph{Example:} \begin{center} Pictorial representations of addition and subtaction of vectors \FRAME{dtbpF}{5.1802in}{4.0491in}{0pt}{}{\Qlb{vector addition}}{% vector_add.jpg}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 5.1802in;height 4.0491in;depth 0pt;original-width 370.375pt;original-height 289.0625pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/TEMP/vector_add.jpg';file-properties "XNPEU";}} \FRAME{dtbpF}{4.126in}{3.3736in}{0pt}{}{}{vector_subt.jpg}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 4.126in;height 3.3736in;depth 0pt;original-width 444.1875pt;original-height 391.4375pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/TEMP/vector_subt.jpg';file-properties "XNPEU";}} \end{center} \subsubsection{\hyperref{\TCIIcon{BITMAPSETSolution}{0.2612in}{0.2612in}{0in}% }{}{}{http://golem.math.stevens-tech.edu/llevine/ma112/node9a.html}Vector Addition Simulation} \subsubsection{Linear Combinations} \vspace{1pt} If $u$ and $v$ are vectors, then the sum $cu+dv,$ where $c$ and $d$ are scalars is called a \emph{linear combination} of $u$ and $v.$ \paragraph{Example:} $u=\left[ 1,-3,4\right] $ $v=\left[ 2,3,-1\right] $ \vspace{1pt} $5u+8v=\allowbreak \left[ 21,9,12\right] $ \vspace{1pt} \subsubsection{SNB ICE} \vspace{1pt} For what values of $x$ and $y$ does $x\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right] +y\left[ \begin{array}{c} -5 \\ 6 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array} \right] ?$ \vspace{1pt} Find a vector $x$ such that \ $x+2\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right] =-\left[ \begin{array}{c} -7 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right] .$ $\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right] +2\left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 4 \end{array} \right] =-\left[ \begin{array}{c} -7 \\ 4 \\ 4 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} $\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2}-2 \\ x_{3}+8 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 7 \\ -4 \\ -4 \end{array} \right] $ Thus $x_{1}=7,x_{2}=-2,x_{3}=-12.$ \vspace{1pt} \subsection{Lengths and Dot Products 1.2\label{Dot product}} The \emph{dot product} (or \emph{inner product}) \index{Inner product@Inner product}\label{Inner product}of two vectors $% \left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) $ and $\left( b_{1},b_{2},...,b_{n}\right) $ is defined by \[ \left( a_{1},a_{2},...,a_{n}\right) \cdot \left( b_{1},b_{2},...,b_{n}\right) =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n} \] The dot is available on the \textsf{Common Symbols} toolbar and in the \textsf{Binary Operations} drop-down panel below \FRAME{itbpF}{0.3009in}{0.3009in}{0.0701in}{}{}{binop.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 0.3009in;height 0.3009in;depth 0.0701in;original-width 24.8125pt;original-height 23.3125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'Binop.wmf';file-properties "XNPEU";}}. For the following examples of dot products with $n=3$, define \[ a=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \end{array} \right] \text{, }b=\left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \text{, }c=[3,2,1]\text{, and }d=(2,-1,0) \] with \textsf{New Definition} from the \textsf{Define} submenu. \begin{quote} $\blacktriangleright $ \textsf{Evaluate} \end{quote} \begin{quotation} $\left( u,v,w\right) \cdot \left( x,y,z\right) =ux+vy+wz$ $(1,2,3)\cdot (3,2,1)=10$ $a\cdot c=10$ $a\cdot b=-2$ $c\cdot d=\,4\medskip $ \end{quotation} \subparagraph{\protect\vspace{1pt}Length (Norm) of a Vector\label% {length of a vector}} If $x$ is a vector in $R^{n}$, then the \textbf{length} (or \textbf{norm}) of $x$ is defined by $\left| \left| x\right| \right| =\sqrt{% x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}$. \vspace{1pt} \subparagraph{Theorem} Let $u,v,$ and $w$ be vectors in $R^{n},$ and $c$ any scalar. Then a. $u\cdot v=v\cdot w\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $(Dot product is commutative) b. $c\left( u\cdot v\right) =\left( cu\right) \cdot v=u\cdot \left( cv\right) \qquad \qquad \qquad \qquad \ $(Scalars factor out) c. $u\cdot \left( v+w\right) =u\cdot v+u\cdot w\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $(Distributive Law) d. $u\cdot 0=0$ e. $u\cdot u=\left\| u\right\| ^{2}$ You can compute \index{Vector@Vector!norm@norm}vector norms in \textsl{Scientific Notebook} for every positive integer $n$, where \[ \Vert v\Vert _{n}=\left( \sum \left| v_{i}\right| ^{n}\right) ^{% \frac{1}{n}} \] and for $\infty $, with \[ \left\| v\right\| _{\infty }=\max \left( \left| v_{i}\right| \right) \] as illustrated by the following examples.\medskip \begin{quote} $\blacktriangleright $ \textsf{Evaluate} \end{quote} \begin{quotation} $\Vert \left( a,b,c\right) \Vert _{1}=\allowbreak \left| a\right| +\left| b\right| +\left| c\right| \vspace{6pt}$ $\Vert \left( a,b,c\right) \Vert _{3}=\allowbreak \sqrt[3]{\left( \left| a\right| ^{3}+\left| b\right| ^{3}+\left| c\right| ^{3}\right) }\vspace{6pt}$% \ $\Vert \left( -1,2,1\right) \Vert _{5}=\allowbreak \sqrt[5]{34}\vspace{6pt}$ $\Vert \left[ a,b,c\right] \Vert _{\infty }=\,\max \left( \left| a\right| ,\left| b\right| ,\left| c\right| \right) \vspace{6pt}$\ $\Vert \left[ 8,-10,2\right] \Vert _{\infty }=\allowbreak 10\vspace{6pt}$ $\left\| \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \right\| _{2}\vspace{6pt}=\sqrt{\left( \left| a\right| ^{2}+\left| b\right| ^{2}\right) }$ $\left\| \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \end{array} \right) \right\| _{4}=\sqrt[4]{\left( \left| a\right| ^{4}+\left| b\right| ^{4}+\left| c\right| ^{4}\right) }\medskip $ \end{quotation} \begin{quote} $\blacktriangleright $ To enter the two pairs of vertical lines used in the norm symbol \end{quote} \begin{itemize} \item Click \FRAME{itbpF}{0.3009in}{0.3009in}{0.0701in}{}{}{brackets1.wmf}{% \special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";display "PICT";valid_file "F";width 0.3009in;height 0.3009in;depth 0.0701in;original-width 20.3125pt;original-height 18.8125pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename '/document/TEMP/brackets1.wmf';file-properties "XNPEU";}} or choose \textsf{Insert + Brackets}, and select the norm symbols. \end{itemize} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/lec1_21_99.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/TEMP/Matrix.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%% A@@@@`E@@@@@@@@@@@@@@PA@@@pD@@@@@@@@@@@@@@PeB@@@{I@@@@RQMYD@@D@@LuA@@HA@@@p @@@@@@@@@@@@@@@pBA@@@@P@@@@p@@@@PA@@@pC@@@XD@@@@GL@@@Pp@@@\DQIMT@@@@`@L@@@@ k`FpB@@@@@xo@@@D@@I@@@Cp_A@@`@@Dw@@@@@@T@@@@pBB@@@@@PA@@@@LH@F@dA@}H@@@\O@@ L@GA@@@@@@`@@@@@@H@@@H`@@@@@@H@@B@`@@@`@B@p@CL@@sMp@XjrpC@@s|O@@|L@LC@CpL C@@MtPC@haFZ@@Jh`B@uTSM@LtPCA@TPAE@]uUW@lvZkA@^xaG@SNyd@DZhaB`knzJ@{n{n@d\ rICpL@@@@fA@@@dI@@@@s@@@@@LC@@LsL@@`Ys@@@YNC@@p|L@@ps@@@@XF@@LcY@@`YfA@@YZ F@@plY@@pfA@@@dI@@LSf@@`YYB@@YfI@@p\f@@pYB@@@pL@@LCs@@`YLC@@YrL@@pLs@@pL C@@f}O@@dy@@@sC@@@@pL@LC@s@`Y@LC@YBpL@pL@s@p@LC@@LsL@LsLs@`YsLC@YNsL@p|L s@psLC@@XvL@LcYs@`YfMC@YZvL@plYs@pfMC@@dyL@LSfs@`YYNC@YfyL@p\fs@pYNC@@p| L@LCss@`YLOC@Yr|L@pLss@pLOC@s|L@Xvs@PfOC@LL@|s@@@@XF@s@`Y@XF@fAPf@X F@LC`Y@|O@fA@@sXF@sLcY@XvLfAPfsXF@LOcY@|LfA@@fYF@sXfY@XfYfAPffYF@L[fY@@Pff ApLYZF@feiY@dYffA@sYZF@giY@@@sfApLL[F@YrlY@pLsfApL[F@@|oY@LsfAPf[F@LoY @|O@LC@s@|O@@dYf@dyLYBPf@dI@LCPf@@@@YBpLsdI@fAPf@p|LYBp@dI@@XVf@LcYYB`YsdI @YZVf@plYYBpsdI@sdYf@XVfYBPfYfI@LgYf@|_fYB@@LgI@sp\f@XFsfAPfLgI@Ls\f@|OsYB @@gI@s|_f@XFsYBPfgI@L_f@|YB@@@pL@s@Pf@XF@LCPf@pL@LC@s@@pLYBpLspL@fMCs@ dyLLC@sspL@OCs@@`YLCpLfqL@fYVf@diYLC@sfqL@[Vf@@PfLCpLYrL@feIs@dYfLC@sYrL@ gIs@@@sLCpLLsL@fqLs@dIsLC@sLsL@sLs@@pLCpLsL@f}_f@dyLC@ssL@Os@LC@LC` Y@|O@YBp@XmuVC@@spL@sLs@XvLCPfs|O@LOs@|LC@@f}O@sXv@XfYLCPff}O@L[v@| oYLC@@Y~O@sdy@XVfCPfY~O@Lgy@|_fC@@LO@sp|@XFsCPfLO@Ls|@|OsCpLO@f }Os@dyC@sO@[fY@XvfAp[F@fYv@|oYC`YO@dSNy@|uW_Ap]w]G@FZha@XieVBpr KoL@rJkl@\}uWCPw]wM@cO~x@hnzjCP|qGO@xcO~@|~pC@h`RJ@@BH`@|O@@@@@C@@O@@@@ @Cp@|O@@|@|CpO@@@@@@@Lp@C@`@BH@@@p@@@@@B@@O@@@H`@@p@@@@@B@@ O@@@H`@@p@@@@@B@@@|O@C@`@@H@po@@D`@B@`C@@@AD@@@OrdBp@B@@dBJh@@HP@@@`@ |O@@B@P@@Lw@C@@@AH@D@@@@Pc@@@p@@@@@u@P\C@@@Am@H@pL@X@PF@@@@@@@F@dA@@@@@@`B@ @@PF@@@@X@@@@D@@H@@@@@@@`J@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@`@@@`@@@@@BH@@B@ @@@H@@B@`@B@@@CLp@@Lw@C@|J[J@OC@@Ls@@p@LC@@|L@tPCM@`FZhA@h`BJ@TSMu@pPCM D@PAET@tUW]ApZkmF@xaG^@LydSBPhaFJ@nzjk@l{n{BPrIgL@@@pL@@@@fA@@@dI@@@@s@@pL@ @@@sLC@@LcY@@pLYB@@spL@@Ls@@`Y@@@@fMC@@XfY@@`YYB@@fqL@@Xv@@Pf@@@@YNC@@diY @@PfYB@@YrL@@dy@@@s@@@@LOC@@plY@@@sYB@@LsL@@p|@@pfA@@gI@@|Os@LC@@@pL@LC @s@`Y@LC@YBpL@pL@s@p@LsL@@pLsLC@sLcY@LsLYBpLspL@sLs@LcY@@pLfMC@sXfY@LcYYB pLfqL@sXv@LSf@@pLYNC@sdiY@LSfYBpLYrL@sdy@LCs@@pLLOC@splY@LCsYBpLLsL@sp|@ Lss@pL[F@s|_f@LsLCpLO@fA@@@XF@s@`Y@XF@fAPf@XF@LC`Y@|O@fMC@@XvLs@`YsXF@ fMSf@XvLLC`Ys|O@fYF@@XfYs@`YfYF@fYVf@XfYLC`YYB@@feyL@XVffA`YYfI@feIs@XVfC` 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