\hfill \thepage} %} \input{tcilatex} \begin{document} Name:\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ID:\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad E-Mail: {\small I pledge my honor that I have abided by the Stevens Honor System. \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_} \section{Ma 112} \section{Exercises 2.3 - Solutions} 1. SNB ICE Find a condition on the numbers $a,b,$ and $c$ such that the following system of equations is consistent. When that condition is satisfied, find all solutions (in terms of $a,b,$ and $c).$ Show all steps in your work. \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x+3y+z &=&a \\ -x-2y+z &=&b \\ 3x+7y-z &=&c \end{eqnarray*} \vspace{1pt} Solution: \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} x+3y+z &=&a \\ -x-2y+z &=&b \\ 3x+7y-z &=&c \end{eqnarray*} Note that trying to use the solve option in Maple leads to `` No solution found.'' We shall see that the system does indeed have a solution provided $% a,b,$ and $c$ satisfy certain conditions. \vspace{1pt} Using Maple on $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & a \\ -1 & -2 & 1 & b \\ 3 & 7 & -1 & c \end{array} \right] $, leads to \vspace{1pt} row echelon form: $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $ which is clearly not correct. \vspace{1pt} Now $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & a \\ -1 & -2 & 1 & b \\ 3 & 7 & -1 & c \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & a \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 3 & 7 & -1 & c \end{array} \right] $ \vspace{1pt} $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & a \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 3 & 7 & -1 & c \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & a \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 0 & -2 & -4 & c-3a \end{array} \right] $ \vspace{1pt} $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & a \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 0 & -2 & -4 & c-3a \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & -2a-3b \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 0 & -2 & -4 & c-3a \end{array} \right] $ \vspace{1pt} $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & -2a-3b \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 0 & -2 & -4 & c-3a \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & -2a-3b \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 0 & 0 & 0 & 2b-a+c \end{array} \right] $ $\vspace{1pt}$ Thus we have a solution when $0=\allowbreak 2b-a+c,$ that is when $c=a-2b.$ Then we have \vspace{1pt} \begin{center} $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & -2a-3b \\ 0 & 1 & 2 & b+a \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} \end{center} \vspace{1pt} Thus if $c=a-2b$ and we let $z=t$ we have the solutions \vspace{1pt} \begin{center} $x=5t-\left( 2a+3b\right) ,\qquad y=\left( a+b\right) -2t,\qquad z=t.$ \vspace{1pt} \end{center} 2. Strang, page 50 \#1 Answer in book. \vspace{1pt} 3. Strang, page 50 \#3 Answer in book. \vspace{1pt} 4. Strang, page 51 \#13 $E_{21}A=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right] $ $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right] =E_{32}\allowbreak \left( E_{21}A\right) =\left[ \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right] $ $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{4} & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right] =E_{43}\allowbreak \left( E_{32}\allowbreak \left( E_{21}A\right) \right) =\left[ \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{5}{4} \end{array} \right] \allowbreak $ \vspace{1pt} 5. Strang, page 51 \#17 Answer in book \vspace{1pt} 6. Strang, page 51 \#18 Define $P=\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $ $\ \ Q=\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right] $ The $PQ=\allowbreak \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right] ,QP$ $=$ $\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] ,P^{2}$ $=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] =I$ $\left( PQ\right) ^{2}=\allowbreak \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} 7. Strang, page 52 \#23 Answer in book. \vspace{1pt} 8. Strang, page 52 \#24 $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 7 & 6 \end{array} \right] $, row echelon form: $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] .$ The last equation says $0x+0y+0z=1,$ which is impossible, so the system has no solution. \vspace{1pt} $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 2 \\ 3 & 5 & 7 & c \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & c-3 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & c-3 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -c+3 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} Thus there is a solution for $c=3.$ \vspace{1pt} 9. Strang, page 52 \#25 $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \end{array} \right] $, row echelon form: $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -7 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{array} \right] .$ Thus the first system has the solution $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} -7 \\ 2 \end{array} \right] $ and the second system has the solution $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} 10. Strang, page 53 \#26 $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & a \\ 0 & 4 & 5 & b \\ 0 & 0 & d & c \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & a \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{4}b \\ 0 & 0 & d & c \end{array} \right] $ Thus the system has no solution if $d=0$ and $c\neq 0.$ It has infinitely many solutions if $c=d=0.$ $a$ and $b$ have no effect. \vspace{1pt} 11. SNB ICE A network of one-way streets is shown in the diagram below. The rate of flow of cars at intersection A is $500$ cars per hour, and $400$ and $100$ cars per hour emerge from B and C, respectively. Find the possible flows along each street. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{2.7631in}{2.4388in}{0pt}{}{}{network.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 2.7631in;height 2.4388in;depth 0pt;original-width 6.1462in;original-height 5.4163in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'network.wmf';file-properties "XNPEU";}} \vspace{1pt} \end{center} Equating flow in with flow out we have \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} \text{Intersection A \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }500 &=&f_{1}+f_{2}+f_{3} \\ \text{Intersection B \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }f_{1}+f_{4}+f_{6} &=&400 \\ \text{Intersection C \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }% f_{3}+f_{5} &=&f_{6}+100 \\ \text{Intersection D \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }f_{2} &=&f_{4}+f_{5} \end{eqnarray*} Solve for the flows. Are there any constraints on the flows? \vspace{1pt} Solution: $\left[ \begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 500 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 400 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 100 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \end{array} \right] $, row echelon form: $\left[ \begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 400 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 100 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \allowbreak $ \vspace{1pt} Thus \vspace{1pt} \begin{eqnarray*} f_{1} &=&400-f_{4}-f_{6} \\ f_{2} &=&f_{4}+f_{5} \\ f_{3} &=&100-f_{5}+f_{6} \end{eqnarray*} \begin{center} \vspace{1pt} \end{center} 12. Find the possible flow in the following network of pipes. \begin{center} \FRAME{dtbpF}{3.3736in}{3.3736in}{0pt}{}{}{network2.wmf}{\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "F";width 3.3736in;height 3.3736in;depth 0pt;original-width 5.2088in;original-height 5.2088in;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";filename 'network2.wmf';file-properties "XNPEU";}} \end{center} Solution: \begin{center} \begin{eqnarray*} f_{3}+40 &=&f_{1}+f_{4} \\ 60 &=&f_{3}+f_{2}+f_{5} \\ f_{4}+f_{5} &=&50 \\ f_{1}+f_{2} &=&50 \end{eqnarray*} , Solution is: $\left\{ f_{5}=f_{5},f_{3}=f_{3},f_{1}=f_{3}-10+f_{5},f_{4}=-f_{5}+50,f_{2}=-f_{3}+60-f_{5}\right\} \allowbreak $ \vspace{1pt} \vspace{1pt} \end{center} 13. SNB Ice \vspace{1pt} Insert the appropriate (elementary) matrices corresponding to the indicated row operations that transform \vspace{1pt} \vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $\left[ \begin{array}{lllll} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & -7 & 8 \end{array} \right] $ to row-reduced echelon form. \vspace{1pt} Adding $2\times R_{1}$ to $R_{4}$ yields \vspace{1pt}$\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{lllll} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & -7 & 8 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} interchanging $R_{2}$ and $R_{3}$ $\allowbreak \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \end{array} \right] $ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad $ Adding $\left( -1\right) \times R_{3}$ to $R_{4}$ yields $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right] \allowbreak \left[ \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} Adding $2\times R_{1}$ to $R_{2}$ yields $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{lllll} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & -1 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $ \vspace{1pt}Multiplying $R_{1}$ and $R_{2}$ by $-1$ yields $\left[ \begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{lllll} -1 & -1 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & -1 & 0 & 4 & -8 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $ Eliminating the $1$ in row one column 2 yields $\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] =\allowbreak \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $ \vspace{1pt} \begin{center} \vspace{1pt} \end{center} $\vspace{1pt}$ \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/ex2.3_sol_12.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/network.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% WwlqZB@@@@@@@xd@HH@X@@@@@@pMWE@@I@@@C`_BG@P@@H}AG@@@@P@@@@p@A`@@E@@@@l`@@@@ @@T@@@@@CBtpMvySAB@@@wC@@C@P@@@@@@@B@@@@P@@@@`A@@@@H@@@@h@@@@@C@@@@N@@@@@`@ @@`@B@@@DH@@@X`@@@@BB@@@JH@@@p`@@@`CB@@@@P@@@H@A@@@AD@@@FP@@@`@A@@`BD@@@LP@ @@x@A@@@@F@@@BX@@@P`A@@`AF@@@HX@@@h`A@@@CF@@@NX@@@@@B@@`@H@@@D`@@@X@B@@@BH@ @@J`@@@p@B@@`CH@@@@h@@@H`B@@@AJ@@@Fh@@@``B@@`BJ@@@Lh@@@x`B@@@@L@@@Bp@@@P@C@ @`AL@@@Hp@@@h@C@@@CL@@@Np@@@@`C@@`@N@@@Dx@@@X`C@@@BN@@@Jx@@@p`C@@`CN@@@@@@A @H@@D@@A@P@@F@@A@`@@D@`B@P@@L@@A@x@@D@@@BP@@BH@A@P`@D@`ABP@@HH@A@h`@D@@CBP@ 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