%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                                                     %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 2.5             %
%              Scientific Word   Wrap/Unwrap  Version 3.0             %
%                                                                     %
% If you are separating the files in this message by hand, you will   %
% need to identify the file type and place it in the appropriate      %
% directory.  The possible types are: Document, DocAssoc, Other,      %
% Macro, Style, Graphic, PastedPict, and PlotPict. Extract files      %
% tagged as Document, DocAssoc, or Other into your TeX source file    %
% directory.  Macro files go into your TeX macros directory. Style    %
% files are used by Scientific Word and do not need to be extracted.  %
% Graphic, PastedPict, and PlotPict files should be placed in a       %
% graphics directory.                                                 %
%                                                                     %
% Graphic files need to be converted from the text format (this is    %
% done for e-mail compatability) to the original 8-bit binary format. %
%                                                                     %
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%                                                                     %
% Files included:                                                     %
%                                                                     %
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%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.0


\documentclass{article}
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\input{tcilatex}

\begin{document}


Name: Solutions\qquad ID: XXX-XX-XXXX \qquad E-Mail:

{\small I pledge my honor that I have abided by the Stevens Honor System.
\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_}

\section{Ma 112}

\section{Exercises 2.2 - Solutions}

\vspace{1pt}1. SNB ICE

Graph the system

\vspace{1pt} 
\begin{eqnarray*}
x-y &=&1 \\
3x+y &=&7
\end{eqnarray*}

$\vspace{1pt}$First, set the above equations to y= values and then use the
graph 2-D button or the topic under the Maple menu.

$-y=1-x$

$y=-1+x$

\vspace{1pt}

$y=7-3x$\FRAME{itbpF}{3in}{2.0003in}{0in}{}{}{Plot}{\special{language
"Scientific Word";type "MAPLEPLOT";width 3in;height 2.0003in;depth
0in;display "USEDEF";plot_snapshots TRUE;function \TEXUX{$7-3x$};linecolor
"Red";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle "Point";function
\TEXUX{$-1+x$};linecolor "Black";linestyle 1;linethickness 1;pointstyle
"Point";xmin "-5";xmax "5";xviewmin "-5";xviewmax "5";yviewmin
"-8.6";yviewmax "22.612";rangeset"X";phi 45;theta 45;plottype 4;numpoints
49;axesstyle "normal";xis \TEXUX{x};var1name \TEXUX{$x$};valid_file
"T";tempfilename 'F7CS4Y02.wmf';tempfile-properties "XPR";}}

2. SNB ICE

Use forward elimination to solve

\begin{eqnarray*}
x+3y-z &=&4 \\
-2x+y+3z &=&9 \\
4x+2y+z &=&11
\end{eqnarray*}

\vspace{1pt}These answers are found by multiplying the above matrix by the
identity matrix with the row operations that you would like to do inside it
.... as seen below

\vspace{1pt}

, Solution is : $\left\{ x=1,y=2,z=3\right\} $

$ 
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\ 
2 & 1 & 0 \\ 
-4 & 0 & 1
\end{array}
\begin{array}{llll}
1 & 3 & -1 & 4 \\ 
-2 & 1 & 3 & 9 \\ 
4 & 2 & 1 & 11
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -1 & 4 \\ 
0 & 7 & 1 & 17 \\ 
0 & -10 & 5 & -5
\end{array}
$

$ 
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 10/7 & 1
\end{array}
\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -1 & 4 \\ 
0 & 7 & 1 & 17 \\ 
0 & -10 & 5 & -5
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{cccc}
1 & 3 & -1 & 4 \\ 
0 & 7 & 1 & 17 \\ 
0 & 0 & \frac{45}{7} & \frac{135}{7}
\end{array}
$

\begin{eqnarray*}
1x+3y-1z &=&4 \\
7y+1z &=&17 \\
(45/7)z &=&(135/7)
\end{eqnarray*}
, Solution is : $\left\{ x=1,y=2,z=3\right\} $

\vspace{1pt}

3. Strang, page 40 \#3

\vspace{1pt}$2x-4y=6$

$-x+5y=0$

\vspace{1pt}What multiple of eq 1 should be subtracted from equation 2?

-1/2 \ -- This way the equations will have the x components cancel each
other out

(Same thing, but multiplying and adding because it is easier)

$ 
\begin{array}{ll}
1 & 0 \\ 
.5 & 1
\end{array}
\begin{array}{lll}
2 & -4 & 6 \\ 
-1 & 5 & 0
\end{array}
=\allowbreak $

result after elimination step

$ 
\begin{array}{ccc}
2 & -4 & 6 \\ 
0 & 3.0 & 3.0
\end{array}
$

solving triangular system

\begin{eqnarray*}
2x-4y &=&6 \\
3y &=&3
\end{eqnarray*}
, Solution is : $\left\{ y=1,x=5\right\} $

\vspace{1pt}

If the right side changes to -6,0 the new solution is

\begin{eqnarray*}
2x-4y &=&-6 \\
-x+5y &=&0
\end{eqnarray*}
, Solution is : $\left\{ y=-1,x=-5\right\} $

\vspace{1pt}

4. Strang, page 40 \#4

$ax+by=f$

$cx+dy=g$

Multiply eq 1 by $c/a$ and subtract to get rid of the $cx$ term in the
second eq.

$ax+by=f$

\vspace{1pt}$0+(d-cb/a)y=(g-cf/a)$

The second pivot is $(d-cb/a)$.

\vspace{1pt}(the second pivot is defined as the term in front of your second
variable when the system of equations are in the upper triangular form.)

5. Strang, page 40 \#7

\vspace{1pt}$ax+3y=-3$

$4x+6y=6$

\vspace{1pt}elimination breaks down

(1) permanently when $a=2$ or when $a=-2$

(2) temporarily when $a=0$

$ 
\begin{array}{l}
3y=-3 \\ 
4x+6y=6
\end{array}
$, doing the row exchange, we get:

$ 
\begin{array}{l}
4x+6y=6 \\ 
3y=-3
\end{array}
$, Solution is : $\left\{ y=-1,x=3\right\} $

6. Strang, page 40 \#8

$kx+3y=6$

$3x+ky=-6$

elimination breaks down when

(1)$\qquad k=0$ ,temporary, 1 solution

\vspace{1pt}\qquad \qquad \qquad \qquad $0x+3y=6$

\qquad \qquad \qquad \qquad $3x+0y=-6$

\qquad \qquad Solution is: $\{x=-2,y=2\}$

(2)\qquad $k=-3$, permanent, infinite solutions

(3) \ \ \ \ \ $\ k=3$, permanent, no solution

\vspace{1pt}\qquad \qquad because everything cancels each other out when the
equations are added together

7. Strang, page 41 \#11

\vspace{1pt}$ 
\begin{array}{l}
2x+3y+z=1 \\ 
4x+7y+5z=7 \\ 
-2y+2z=6
\end{array}
$, Solution is : $\left\{ y=-1,x=1,z=2\right\} $

$ 
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\ 
-2 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1
\end{array}
\begin{array}{llll}
2 & 3 & 1 & 1 \\ 
4 & 7 & 5 & 7 \\ 
0 & -2 & 2 & 6
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & 3 & 5 \\ 
0 & -2 & 2 & 6
\end{array}
$

$ 
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 2 & 1
\end{array}
\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & 3 & 5 \\ 
0 & -2 & 2 & 6
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & 3 & 5 \\ 
0 & 0 & 8 & 16
\end{array}
$

$ 
\begin{array}{l}
2x+3y+z=1 \\ 
y+3z=5 \\ 
8z=16
\end{array}
$, Solution is : $\left\{ y=-1,x=1,z=2\right\} $

Pivots are 2, 1, and 8.

\vspace{1pt}

If 0 is the coefficient of the first variable (in this case $x$)in row 2 or
row three, then we avoid a row operation.

\vspace{1pt}

8. Strang, page 41 \#13

\vspace{1pt}$ 
\begin{array}{l}
2x+5y+z=0 \\ 
4x+dy+z=2 \\ 
y-z=3
\end{array}
$, Solution is : $\left\{ y=-\frac{1}{-11+d},z=-\frac{-32+3d}{-11+d},x=\frac{%
3}{2}\frac{-9+d}{-11+d}\right\} $

$ 
\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\ 
-2 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1
\end{array}
\begin{array}{llll}
2 & 5 & 1 & 0 \\ 
4 & d & 1 & 2 \\ 
0 & 1 & -1 & 3
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{cccc}
2 & 5 & 1 & 0 \\ 
0 & -10+d & -1 & 2 \\ 
0 & 1 & -1 & 3
\end{array}
$

$ 
\begin{array}{l}
2x+5y+1=0 \\ 
(-10+d)y-z=2 \\ 
y-z=3
\end{array}
$, In order to exchange line (2) with line (3), $-10+d=0$. So $d=10$.

$\vspace{1pt}$

$ 
\begin{array}{l}
2x+5y+1=0 \\ 
(-10+d)y-z=2 \\ 
y-z=3
\end{array}
$, To make the system singular (ie no third pivot), $-10+d=1$. So $d=11$.
And there is no solution.

\vspace{1pt}

9. Strang, page 42 \#21

\vspace{1pt}$ 
\begin{array}{l}
2x+y=0 \\ 
x+2y+z=0 \\ 
y+2z+t=0 \\ 
z+2t=5
\end{array}
$, Solution is : $\left\{ z=-3,t=4,y=2,x=-1\right\} $

\vspace{1pt}

\vspace{1pt}$ 
\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
-.5 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\begin{array}{lllll}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 2 & 5
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1.\,\allowbreak 5 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 2 & 5
\end{array}
$

$ 
\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1.\,\allowbreak 5 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 2 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 2 & 5
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1.\,\allowbreak 5 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 2 & 5
\end{array}
$

$ 
\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & -\frac{3}{4} & 1
\end{array}
\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1.\,\allowbreak 5 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 2 & 5
\end{array}
=\allowbreak 
\begin{array}{ccccc}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1.\,\allowbreak 5 & 1 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & \frac{4}{3} & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & \frac{5}{4} & 5
\end{array}
$

$ 
\begin{array}{l}
2x+y=0 \\ 
1.5y+z=0 \\ 
\frac{4}{3}z+t=0 \\ 
\frac{5}{4}t=5
\end{array}
$, Solution is : $\left\{ z=-3.0,t=4.0,y=2.0,x=-1.0\right\} $

The pivots are 2, 1.5, 4/3, and 5/4.

\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End /document/ex2.2_sol_12.tex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Start /document/F7CS4Y02.wmf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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